看点 北京大学教授林小英在《十三邀》提及，“如果你一生做的所有事情，都只为了谋生，你这一生就是个苦役。”数学学习也同样如此。若为了提分而刷题，孩子们就可能对数学产生终生的厌恶，丧失他们将来的可能性。那么好的数学学习，应该是种怎样的面貌呢？
文丨庄晓 编丨lulu
几年前，在给复旦数学院迎新大会上，李大潜院士曾把数学学习，比作一场战略性的投资。
在人工智能大行其道的当下和未来，这句话尤能令人触动。
不过，即便我们都明白数学的重要性，很多人还是对数学是又爱又恨。
就算是在国际化学校，也总有学生感叹，为什么已经努力复习了，可大考成绩就没想象中来得惊艳？
家长们也很无奈，一直在花钱补课，可孩子们的提分效果怎么就不尽如人意呢？
那么问题到底出在哪了呢？
究其原因，恐怕还是我们对国际化数学教育的认知，存在误区。
比如，没有意识到数学也是一种语言，而语言也需要有浸润的环境。一些国际化学校的数学课时，实则远少于公立校，同时限于师资水平，孩子常常学得囫囵吞枣、只能磕磕绊绊向前走。
而且，数学学习已是不易，更何况是用英语学数学呢？所以在用英语做题时，难免会存在理解上的障碍。
另外，一些老师对英文教材的使用也过于“刻舟求剑”。很多英文教材，会用相当多的篇幅讲述基础概念，对于英语非母语的孩子来说，理解概念时难以深入，又缺乏相应的总结和训练，问题叠着问题，日积月累，数学提高就比较缓慢。
那么，对于走国际化路线的孩子而言，数学这门学科到底又该如何来学呢？
前些日子，外滩君再次观摩了昆山狄邦华曜学校（原上海华二昆山国际学校，以下简称狄邦华曜）的数学课堂。
在和中学数学学科组长郭惠老师，和有着资深数竞经验的郭异老师的深入交流后，外滩君也颇受启发。
两位老师对数学教学的理解及探索，不仅让孩子们实现了“数学自由”，考出了好成绩，更重要的是，让孩子们一直都对这个世界充满了好奇和热情。这在当下的教育环境里，实在是难能可贵。
郭惠
狄邦华曜中学数学学科组长。麦吉尔大学数学专业硕士学位，在国际教育行业从事教学与管理工作18余年，曾辅导学生得到IGCSE数学全球最高分、A Level进阶数学全球最高分。
郭异
毕业于四川大学，成都七中数竞少年，从小囊获数竞奖项无数。现教国内初中、美国初高中等课程，同时辅导学生参加AMC、AIME、USAMO、英国UKMT、牛津MAT、北卡等数学竞赛
顺利渡过学业“分水岭”数学学习也能一人一课表
每年3月，狄邦华曜的校园里一片沸腾。穿梭其间，不时看到孩子们，一边拿着图纸比对，一边在校园中仔细寻找着。
忙着找到图片位置的他们，还要争分夺秒来答题。
比如谁是欧洲骑士八德？如何估算卷纸的长度？
储物柜上四位数字还能怎么玩转24点？
又或者怎样才能用三角函数的知识，测量国旗杆的高度？
在和同伴们的比拼中，几乎所有的学生都沉浸在数学解题猜谜的氛围之中，这就是每年狄邦华曜都要举办的重头戏——“π-Day寻宝”，来观察到数学在现实世界的运用。
“燃起数学兴趣，才能学好数学。”初中数学组负责人郭异老师告诉外滩君，如何让数学课堂变得更有趣味性，也是狄邦华曜努力的方向。
当然，仅着重于兴趣的开发是不够的。让孩子爱上数学还要打破学生数学学习的迷障，如为什么小学数学学得好，但到初中却掉队了？
“其中很重要的一个原因，就是中学数学出现了从‘数到代数’的转化。”郭异补充道：“有些孩子还不太习惯用字母来代替他们不知道的东西，单凭数感来做题，但这一套到了中学数学，就很难发挥功效。”
这样一来，这些孩子需要迈开更大的步子，才能顺利登上中学数学的台阶。可在传统数学统一教学的管理下，没能扛过这关的孩子，就自然落在了后面。
“充斥着数学的挫败感，我们又如何期待他们能爱上数学呢？”
为此，狄邦华曜特意在课上引进了分组教学设计。
比如一般常规的数学课堂，前半堂多由老师讲授同一个知识点，后半堂会留出约20分钟进行分组教学。
在一对一辅导中帮助尚未理解概念的学生，梳理知识点，继续进行探究；对于学有余力的同学，也会邀请他们挑战更高难度的题型。
至于外滩君观摩的这节数学复习课，则全班都会围绕“因式分解”这个主题，分为能力不同的4个小组，开展分组学习。
若知识点遗忘较多的，老师会在课上一对一的辅导中帮学生补上，对于掌握不错的孩子，老师也会请他们在小组讨论里“先学带动后学”。
刚开始，主动发言的同学还羞红了脸——因为走班制，班上的同学还没有相互都认识；
但这些“先学者”在一遍遍的讲述后，不仅再次加深了对数学的理解，人也肉眼可见，变得更有自信。
而一旁听讲的学生，也会不时插话或小声鼓掌，舒展的眉头也略带星点笑意。
显然，此时数学的“难”，已变成了学习的“喜”。通过将提升台阶分化为不同小阶梯的个性化学习模式，孩子们再也不怕数学学习，同时也愿意在能力范围内“跳上一跳”。
除了分组教学外，狄邦华曜还设计了课程的分层。
1
初中7-9年级
学校会根据学生的数学水平和英文水平，设置了4个不同层级的课程（CP、CP-A、ECP、ECP-I），授课语言也从双语到全英文依次过渡；
2
高中10年级
学生可以根据自己的数学水平，选择代数几何、微积分预备等不同层级的课程（CP、ECP、AP、EAP）
3
高中11年级
大部分学生就已经过渡到完全可以学习微积分的正式课程。
4
高中12年级
对数学有着强烈兴趣的学生，可选修AP统计、多变量微积分、线性代数等更高难度的进阶课程；想在大学学习金融、商业、经济等专业的学生，也能选修金融数学简介。
当然，每个学期开始几周，学生们也可以先行“试水”，根据自己的水平来调整不同层级的课程。
一些有能力的孩子，也可以打破课程的年级限制，做到数学学习“一人一课表”。
一些七年级就能在数学上达到九年级同等水平的学生，会按照自己课表的安排来找郭异老师上课。
课程开始之前，郭异老师首先会和学生展开一对一的探讨，从而明晰学生的学习目标。
有些学生不希望凭借刷题得到高分，郭异老师会在备课时，刻意减少刷题训练，同时增加更多需要思考、开放性的问题，另外还会安排一些数学建模的作业，衔接高中内容。
“虽然课程是九年级水平，但我不会只讲九年级内容，而是自由化垂直拔高，保留知识点的完整度，并进行横向拓展。”郭异老师补充说。
在郭惠老师看来，这样的教学方式更贴合数学教学的本质——让每个孩子都有和数学亲密接触的机会，并能从中受益。
多管齐下，狄邦华曜学生的数学，也取得了骄人的成绩。有学生试水江苏中考数学，一下获得120分以上高分的（江苏中考数学满分130分），也有在竞赛中取得数学荣誉成绩的。
就在今年7月，美国大学理事会发布的2024年度AP全球统一考试成绩里，昆山狄邦华曜的AP考生们获得了远超全国考试平均水平的优异成绩。
初中就开始数学论文写作
为进一步求学深造做足准备
如今，国际数学教育的兴起，也为国内数学教育提供了新思路。
在以往传统注重应试和选拔的数学教学体系下，学生们需要花费大量时间研题和做题，但往往在这样的学习中，练习占比大过了思考。
而国际化数学教育，正是可以打开数学学习上的桎梏，让孩子有更多的的空间来深入思考。
郭惠老师认为，好的国际化数学教育也可把二者的特点都结合起来，分为三个层次：
第一层是知识教育，包括数学的概念方法和计算；
第二层是技能教育，帮助学生学会如何运用所学的数学知识，解决实际问题；
第三层是思维教育，全力提升孩子逻辑推理、批判性思维、创造性思维等综合能力。
如何才能将这些学习目标，高效落实在日常的数学教学中呢？
狄邦华曜为此创新了数学论文扩展项目——将大学论文体系简化后，放到了初中阶段，希望初中生就有机会尝试正式的学术论文写作，锻炼学术研究和论文写作能力，最后还要像大学毕业生一样参加答辩。
让郭异老师没想到的是，这个看着颇有难度的数学论文项目，反而激起了学生们极大的数学学习热情。
“刚开始我还给他们准备了600个论文选题，但有意思的是，绝大多数学生都没有从中选择，而是找到自己更感兴趣的话题。”
如有对篮球感兴趣，想通过数据来评估他心怡的篮球队经理人是否称职；
也有对商科感兴趣的同学，希望能借助数学来研究顾客停留时间与购获利之间的关系；
还有一些走艺术类的学生，打算结合数学图案，来制作艺术品……
每每看到孩子们的鲜活创意，郭异老师总是忍不住连声称赞。“用数学方式去解决他们感兴趣的问题，这个才是我想要的，而不是为了学数学去写论文，这就背离我们的初衷了。”
为了能让课题展现自己更多的想法，孩子们自然而然地沉下心来，开始了大量资料的收集和阅读。
像喜欢音乐的女孩Cindy，从2月提交开题报告，建立框架、查阅资料、分析音阶、吉他音位和钢琴 88 键频率，探究乐器和几何的关系，到完成初稿，再到和郭老师一对一开会讨论改稿，她全身心地投入到这段时间的论文写作中来。
到了6月完成正式的英文答辩后，她终于呈现了一份具有相当高水准的原创学术论文《乐器中的几何序列探索》（The Exploration of Geometric Sequence in Musical Instruments）。
回看这五个月的付出，Cindy也感慨道：“过去我很难相信自已在九年级可以独立完成一篇学术论文，从数学理论到研究方法，我都是从一张白纸，但我最后完成了19页的论文，我相信今后再写专业学术论文我也不再怕了。”
另一位潮流男孩Ben，为了研究自己心爱的偶像团体，硬是啃下了AHP层次分析法、从零开始学起了SPSS统计软件等，最终完成了《影响韩国Kpop团队回归的因素分析》（Factors Influencing the Rate of K-pop Group Comeback》的数学学术论文。
如Ben这样为了深度调研，而主动自学数学知识的学生还有不少，Leo就是其中一位。为了研究病毒传播，他还自行编了Python的小程序，来运行自己的数学模型。
“几乎每个孩子的论文都是在来来回回的改稿中精益求精，改稿最多的孩子，起码改了十多次。
借助论文写作的机会，他们真正做到‘deep thinking’，来想清楚这个领域的具体做法，或者它们背后的底层逻辑，数学认知和水平，也得到了长足的进步。”
英国数学家哈代曾说过，一位数学家，就像一位画家或诗人，是模式的创造者。
而通过数学学术论文的写作，狄邦华曜的学生们，也得以早早学会想数学家一样思考，来探究、实践、表达，全面提高个人的综合素养。
“刚开始他们论文写作就是件不可思议的事情，但没想到最后自己真的能做出来了，几乎每个学生的论文都达到了二十多页。这种发自内心的惊喜，也是他们自我内驱力的一次显著成长。这些可迁移的能力，自然也会反哺于他们课内数学的学习。”
此外，完成全英文论文写作后，孩子们还需要在15分钟的英文口头答辩中，通过答辩委员会的审核，在论述中也进一步加强了他们对于数学学科的认知与应用。
“最终无论是从思维、语言表达还是数学逻辑上面，他们都达到了相当高的学术水准。”
郭老师也笑着补充道，“5个月的论文写作，不少学生都吃了一回时间管理的亏，后面几次论文写作中，他们自然就轻车熟路学会如何安排时间，相信这对他们在大学的学习，也会有相当助益。”
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重在培养“数学+”的跨界能力
敢于面向不确定的未来
AI时代已然来临，在这个对数学理论亟需拓展、数据处理更为看重、以及数学模型大规模运用的当下，学好数学也能让他们拥有了丈量世界的可能。
像去年狄邦华曜闯出的一匹闪耀的“黑马”Sara，在没有夏校、没有竞赛、不拼AP科目的情况下，就成功在已经疯狂内卷的美本申请赛道中，拿到了康奈尔大学的Offer。
立志动物保护的她，在选修了化学和生物后，还特别选修了微积分、统计等数学AP课程，从而让自己成功踏入了康奈尔大学动物科学的申请门槛。
可以说，“数学+”的跨界能力也赋予了Sara更加闪亮的个人特质。而这也是狄邦华曜送给学生的礼物。
翻阅狄邦华曜这本厚达850多页的论文集，外滩君发现，其中不仅涉及到数理分析，同时还横跨音乐、经济、人口学等多个领域，足以看出狄邦华曜对于数学教育的思考——帮助学生体会数学的意义，利用跨学科知识，解决实际生活的问题。
不过对于狄邦华曜的教育者而言，光是像数学论文“纸上谈兵”还不够。“还需要有实实在在的行动。”
为了能将所学用于解决现实生活中的实际问题，从2020年起，狄邦华曜还开始组织学生参加高级别的美国数学建模竞赛（HiMCM），真正做到“学以致用”。
比如22赛季HiMCM的主题是关于“探讨影响蜜蜂种群数量的因素，列出未来多年蜜蜂数量变化的趋势，并解决限定土地范围中蜂巢排列的实际问题。”
在参赛过程中，学生们不仅要了解蜜蜂生活习惯、采蜜范围等生物学知识、探索蜂箱和植被之间的关系，以及了解如何建立数学模型解决真实问题，涉及数据收集、分析、学术论文写作、团队合作、批判性思维等各方面的能力。
此外，狄邦华曜还开设了数学建模、数学拓展、竞赛准备等多门数学选修课，专门面向对数学竞赛抱有热情的孩子们。
这样一来，从思维到实践，在狄邦华曜扎实的数理教学下，几乎每个学生都能自然而然地将数学思维和数学技能，运用到自己感兴趣的领域，让未来有更多可能性。
当然，支撑这些数学活动的，是狄邦华曜数学组老师们的背后的辛勤付出。
每周，狄邦华曜的老师们都会组织圆桌会谈，讨论数学教学中的方法和创意。针对不同分层教学做各种教学创意。仅勾股定理的学习与应用，就设计了四个层级的数学教学。
此外，数学高效学习也离不开数学题库的建设。稍稍了解过数学教育的人，都知道宝贵的题库，可不是说有就有的。
为了搜索高质量的数学题，避免无意义的重复刷题，郭异老师都会翻遍美国、英国、加拿大、新加坡、日本、俄罗斯甚至前苏联的数学书本，一周仅备课时间，就高达惊人的40个小时。
可以说，在中学数学教育上，两位郭老师都能给出专业且独到的建议。